GEEN WISKUNDE OM TE LAAG ZELFVERTROUWEN

Bron: NRC-Next

Datum: 10-09-08

Vormgever: Karel Hageman

De stelling van Pythagoras:

a² + b² = c²

Niet een gebrek aan inzicht of belangstelling, maar een gebrek aan zelfvertrouwen weerhoudt veel meisjes er op de middelbare school of universiteit van vakken met wiskunde en natuurwetenschappen te kiezen. Het zijn in de 1^e plaats de ouders, die het tekort aan zelfvertrouwen kunnen aanvullen. Maar ook de rol van de leraar is belangrijk. Dat is gebleken uit een studie door psychologen van de Universiteit of Wisconsin – Milwaukee in opdracht van de National Sciende Foundation.

Zij volgden 3 jaar lang leerlingen en studenten uit Milwaukee en Phoenix. Er is een nauw verband tussen zelfvertrouwen en interesse. De interesse nam vanzelf toe, als het zelfvertrouwen groeide.

GRENS DIE GEEN LIJN IS
Bron: De Volkskrant
Datum: 22-12-07
Vormgever: Karel Hageman

Hoe lang is de grens van Nederland, van zeg Cadzand-Bad tot Delfzijl?
40 jaar geleden stelde de Amerikaanse wiskundige Benoit Mandelbrot diezelfde vraag over de kust van Engeland. Geen idee, was na veel studie het antwoord, en in feite zelfs: oneindig. Hij ontketende er een heel nieuw onderzoeksterrein mee: fractals.
Hoe ging Mandelbrot te werk? Hij stelde zich een landmeter voor, die met een lange meetlat de kust zo goed mogelijk opmeet, lengte na lengte. Daarna een 2^e landmeter met een kortere meetlat. En nog een. En nog een, met steeds kortere meetlatten. Mandelbrots wiskundige analyse liet zien, dat de landmeters steeds een ander antwoord vinden. Naarmate de meetlat korter is, is de gemeten kustlijn langer. Op papier gaat dat zelfs tot in het oneindige zo door.

Benoit Mandelbrot

Dat komt, stelde Mandelbrot in een beroemd geworden artikel in Nature, doordat grenzen of kustlijnen geen echte ééndimensionale lijnen zijn, maar iets tussen een lijn en een vlak in. Met een dimensie, die inligt tussen een lijn (dimensie 1) en een vlak (dimensie 2). Een object met een gebroken dimensie, en vandaar de naam fractal.
Mandelbrots studies van zulke wiskundige objecten leidden tot verbluffende plaatjes, die zeker een deel van de populariteit van de fractals kunnen verklaren.
Is de grens van Nederland dus oneindig lang? Dat niet, er komt altijd een zandkorrel, die van de een of de andere is.

Commentaar van Onans Lemming bij dit artikel:
Wat krijgen we nu? Is de grens van Nederland niet te meten? Krijg ik een hele andere lengte als ik dit doe met een meetlat van 100 meter dan met een meetlat van 10 centimeter (uiteraard afgezien van meetfouten)? Het schijnt zo, en dat komt door fractals, die een dimensie hebben die inligt tussen 1 en 2. Onans Lemming kan zich inderdaad geen voorstelling maken van een object met dimensie 1,4? Wat is dat? Bestaat dat? Kennelijk wel. Onans lemming wordt oud!

Datum: 21-12-07
Onans Lemming heeft de bètacanon van De Volkskrant met veel interesse gevolgd en daar uitgebreid verslag van gedaan. Afgelopen zaterdag was de laatste aflevering. In totaal zijn er 50 afleveringen geweest. Door een of andere volstrekt duistere reden heeft hij de afleveringen 28 t/m 33 gemist. En groot gemis, omdat veel canons naar elkaar verwijzen. Daarom gaat hij dat nu inhalen. Vandaag aflevering 30!

CANON 30: DE NORMALE VERDELING
Bron: De Volkskrant
Auteur: Hester Bijl
Datum: 27-07-07
Vormgever: Karel Hageman

Wie nu in de caravan zit, omdat het buiten regent, en bovendien kinderen in de mens-erger-je-niet-leeftijd heeft, weet het: met een dobbelsteen is de kans op een 1 even groot als de kans op een 3 of een 6. Je jongste zoon denkt misschien, dat je vaker een 1 gooit dan een 6, maar als je vaak gooit blijkt dat niet waar te zijn.
Als we gaan ganzenborden met 2 dobbelstenen, wordt het anders. Het gemiddelde gaat nog wel goed: dat verdubbelt keurig van 3½ naar 7. Maar de kans op 7 is veel groter dan de kans op 2 of 12. Als je op ruitjespapier alle getallen van 2 tot en met 12 naast elkaar tekent, en je kleurt steeds een vakje bij de worp, die je gooit, dan ontstaat er een berg. Zou je dit met meer dobbelstenen doen, dan neemt het steeds meer de vorm aan van een klok. Wat is hier aan de hand?

A. de Moivre: The Doctrine of Chances, 1718

Dit verschijnsel is al bekend uit de tijd van voor de caravan. De 18^e eeuwse wiskundige Abraham de Moivre kreeg hierover al vragen van gokkers. Wat is de kans op meer dan 60x kop als je 100x een munt gooit? De antwoorden hierop volgen uit lange sommen. De kans uitrekenen op 61x kop, 62x kop … tot en met 100x en dan optellen. Wiskundige berekeningen waar makkelijk een fout insluipt. De Moivre ontdekte een snellere manier. Hij vond een wetmatigheid, die bij dit soort experimenten de kans geeft: de normale verdeling. Door met deze functie te werken, kon hij veel sneller antwoord geven.
Met het begrip ‘verdeling’ beschrijven wiskundigen, hoe vaak elke uitkomst relatief voorkomt. Gooien met 1 dobbelsteen geeft bijvoorbeeld een uniforme verdeling; elke uitkomst komt evenveel voor. De inkomensverdeling is niet uniform, want er zijn meer modale inkomens dan topinkomens (al lijkt dat in de pers vaak niet zo). De normale verdeling is in de wiskunde heel belangrijk. Hij ziet er als wiskundige functie ingewikkeld uit, maar hij duikt overal in de natuur op.
De normale verdeling ontstaat vanzelf, waar toevallige uitkomsten (lengte, gewicht, aantal babymuizen, ogen van dobbelstenen) een optelling zijn van een groot aantal, kleine, onafhankelijke toevallige effecten. Hoe meer effecten (aantal dobbelstenen) en hoe meer uitkomsten (worpen van de dobbelstenen), hoe meer de verdeling op de normale verdeling lijkt: dat is de centrale limiet stelling.

Abraham de Moivre

Deze stelling is heel bruikbaar, omdat in de natuur uitkomsten vaak ontstaan uit een optelsom van een groot aantal, kleine, onafhankelijke toevallige effecten. Naast het gooien van een munt ook bij de intelligentie van groep-8-kinderen, de middagtemperatuur op de camping, of de bloeddruk van een volwassen vrouw. Bloeddruk is namelijk afhankelijk van een groot aantal onafhankelijke factoren zoals erfelijkheid, lichaamsgewicht en leeftijd.
De normale verdeling heeft een aantal bijzondere eigenschappen. Ten 1^e is de kans op het gemiddelde het grootst, ten 2^e is de kans op een waarde boven het gemiddelde even groot als de kans op een waarde onder het gemiddelde (symmetrie) en ten slotte is de kans op de uiterste waarden het kleinst. Een grafiek van de verdelingsfunctie heeft de vorm van een klok, en wordt daarom in het Engels vaak bell curve genoemd. Die functie kan met slechts 2 getallen worden beschreven: het gemiddelde en de variantie. Dat laatste geeft aan, hoe ver de uitkomsten door de bank genomen van het gemiddelde afliggen, oftewel de breedte van de klok. Zodra je deze 2 gegevens hebt, weet je de hele verdeling. In de afbeelding staan 4 verschillende normale verdelingen met verschillende waarden voor hun gemiddelde (µ) en variantie (s).

Carl Friedrich Gauss

Omdat veel natuurlijke verschijnselen normaal verdeeld zijn, maken natuurwetenschappers en psychologen veel gebruik van de verdeling. Omdat deze al vast ligt als 2 getallen bekend zijn, kunnen we veel uitspraken doen over zaken, waar we relatief weinig van weten. Als je aanneemt, dat een waarneming wordt bepaald door de optelsom van vele, kleine, onafhankelijke effecten, kun je met de normale verdeling allerlei voorspellingen doen, ook al zijn de precieze onderliggende mechanismen onbekend. Zo kan uit een representatieve steekproef het gemiddelde en de variantie van de lengte van de volwassen Nederlandse man worden benaderd. Daarmee kun je dan schatten hoeveel mannen van boven de 2 meter in Nederland wonen.
Het is verleidelijk normale verdelingen ook te zien, waar ze niet zijn. Bijvoorbeeld als de uitkomst wordt bepaald door 1 dominant effect. Dan is de aanname van benadering door een normale verdeling niet meer juist. Dit is het geval voor de bloeddruk van een grote groep mensen. Het geslacht is zo bepalend, dat je de normale verdeling pas ziet als mannen en vrouwen gescheiden worden.

Pierre-Simon Laplace

De Moivres werk werd niet veel gelezen. Daardoor werd de normale verdeling later herontdekt, onder andere door de beroemde wiskundigen Pierre-Simon Laplace en Carl Gauss. Gauss merkte in het begin van de 19^e eeuw, dat de fouten bij waarnemingen aan planetenbanen bij benadering normaal verdeeld zijn. De normale verdeling wordt daarom ook wel de Gaussische verdeling genoemd. Nog steeds wordt de normale verdeling gebruikt bij de bepaling van meetfouten. Daarbij wordt aangenomen, dat de meetfouten veroorzaakt worden door een scala aan kleine, onafhankelijke effecten.
De normale verdeling wordt ook gebruikt in het verzekeringswezen en in de sociale wetenschappen. De 19^e eeuwse wiskundige Adolphe Quetelet – we kennen hem van de Quetelet-index – was de 1^e, die dat met sociale gegevens deed. Uit metingen van de borstomvang van Schotse soldaten en de lengte van Franse soldaten ontdekte hij, dat deze normaal verdeeld waren. Hij was ook een van de eersten, die de verdeling als normatief uitgangspunt hanteerde. Hij ging zo ver, dat hij een ‘gemiddelde-mens’ definieerde. Een afwijking van zo’n gemiddelde beschouwde hij als een ‘fout’, wat op weerstand stuitte.

Adolphe Quetelet

Halverwege de 20^e eeuw kwam de computer. Daardoor zijn statistische methoden steeds geraffineerder geworden en is het mogelijk wiskunde en statistiek ver buiten de beperkingen van de normale verdeling te bedrijven. Zo is het in de financiële wereld heel belangrijk om afwijkingen van de normaalverdeling op te sporen, juist in de staart van de verdeling, waar de zeldzame gebeurtenissen zoals beurskrachen zich bevinden. Maar de normale verdeling blijft een krachtig wiskundig instrument om orde te brengen in een onvoorspelbare wereld.

Heeft de auteur iets over het hoofd gezien of kunnen sommige passages beter? Op de website www.vk.nl/betacanon kunnen geregistreerde lezers online meeschrijven aan deze en oude afleveringen van de Volkskrant Bètacanon.

Commentaar van Onans Lemming bij dit artikel:

Gevoelskans
Als Onans Lemming mens-erger-je-niet speelt, dan heeft hij helemaal niet het gevoel dat een kans op een 6 even groot is als de kans op een 1. Vooral niet als hij al z’n pionnetjes op de thuishaven heeft staan, duurt het minstens 20x, voordat hij eindelijk die zo felbegeerde 6 gooit. Ook valt het hem op, dat zijn medespeler achteloos de ene 6 na de andere gooit. Hoezo is de kans op een 6 dan even groot als op een 1? Hij gooit enen bij de vleet, maar zessen homaar. Dit noemen we de zogenaamde gevoelskans en deze is veel realistischer dan de wiskundige kans, dus waarom vervangen ze bij de kansberekening de statistische kans niet door de gevoelskans? Bij allerlei andere wetenschappen gebeurt dat ook en met succes! Zo hebben weerkundigen het veel vaker over de gevoelstemperatuur dan over de werkelijke temperatuur. Nou dan. Bovendien wemelt het van de gevoelskansen in onze maatschappij. Enkele voorbeelden.

Als u meespeelt met de Postcode-Loterij en er zijn 1.000.000 postcodes, dan is uw kans om te winnen veel groter dan 1/1.000.000. Iedereen weet dat. Bovendien kun je deze kans nog aanmerkelijk vergroten als je zelf ook nog eens het eindcijfer mag bepalen! Dan stijgt de kans op winst al gauw naar 1/1.000. Als u vorige keer de hoofdprijs heeft gewonnen, dan moet u natuurlijk meteen uitscheiden, want de kans op 2x de hoofdprijs ligt in de orde van grootte van 1/1.000.000.000.000.000. Als u trouwens niet-meespeelt in de Postcode-Loterij is de kans, dat het winnende lot op uw Postcode valt, veel groter dan als u wel meespeelt.

Als u in de auto stapt, dan is de kans op een dodelijk auto-ongeluk bijna nihil, terwijl alle andere weggebruikers wel een reële kans hebben om het er niet-levend vanaf te brengen. Maar ja, die beschikken nu eenmaal niet over de rijvaardigheid, die u bezit, om nog maar te zwijgen over uw reactievermogen!

Als u in de auto, op een gevaarlijke 2-baansweg, achteloos een shagje zit te rollen, met het stuur tussen de benen geklemd, dan is de kans op een ongeluk verwaarloosbaar klein, omdat uw reactievermogen erg goed is en u dit al talloze malen vaker heeft gedaan!

Als u rookt, dan is de kans dat u longkanker krijgt een stuk kleiner dan alle andere mensen, die ook roken. Maar ja, u heeft wel vaker mazzel, bij u komt het nauwelijks in de familie voor en bovendien rookt u light-sigaretten en uw opa is er ook 92 mee geworden!

Als u 3x achter elkaar een 6 heeft gegooid, hoe groot is dan de kans, dat u de 4^e keer weer een 6 gooit? Echt geen 1/6, want hoe groot is nu de kans, dat u 4x achter elkaar een 6 gooit? Nou dan. Die kans ligt dan meer in de orde van grootte van 1/1.000.

Als er net bij u is ingebroken, dan kunt u uw inbraakverzekering wel opzeggen, want de kans dat er voor de 2^e keer bij u wordt ongebroken is verwaarloosbaar klein, in wat voor criminele buurt u ook woont.

Ziehier een ruikertje van gevoelskansen, waarvan een ieder weet dat ze kloppen, maar waar de kansberekeking geen boodschap aan heeft. Als ze de wetenschap nu wat dichter bij de mensen wil brengen – zoals deze bètacanon beoogt – dan moeten ze het eens wat meer over gevoelskansen hebben in plaats van dorre statistische kansen.

Statistische kans
Laten we weer teruggaan naar de statistische kansen. De statistische kansberekening kent vaak hele onwaarschijnlijke uitkomsten, die kansberekening tot zo’n intrigerend vak maken. Wederom weer enkele voorbeelden.
Hoe groot is de kans, dat u achter elkaar met een munt 50x kop gooit? Niet groot weet u, maar u heeft al een paar keer 20x achter elkaar kop gegooid, dus met even doorzetten, moet dat wel lukken. Onas Lemming heeft dit eens uitgerekend en is tot het volgende antwoord gekomen. Als 1 miljoen mensen 10x in een minuut een munt opgooien, gedurende 40 uur per week, zal het eens in de 900 jaar voorkomen! Deze kans is veel kleiner dan u dacht, maar reken het maar na, het klopt. Als u toch niet overtuigd bent, laatst gooide u nog 25x achter elkaar kop, dan kunt u Onans Lemming een weekendje uitnodigen en zullen we het proefondervindelijk onderzoeken. Mocht het u lukken in dit weekend 50x kop te gooien, dan garandeert Onans Lemming u, dat hij uw gewicht in goud zal uitbetalen. Mocht het niet lukken, dan brengt hij dubbele reiskosten in rekening.

Als u geblinddoekt bij een lantarenpaal staat en u maakt honderd passen van 1 meter en na iedere pas verandert u van richting en u tracht zo ver mogelijk van de lantarenpaal vandaan te komen, hoeveel meter bent u dan na die 100 stappen van de lantarenpaal maximaal verwijderd? Als u dit uitrekent, bent u dan hoogstens 10 meter van de paal verwijderd, Verbazend en probeer het dus maar uit. Het klopt echt.

Even een simpele tussendoortje om de moed erin te houden. Wanneer uw buurman zegt: ‘1 van mijn 2 kinderen is een jongen’. Hoe groot is dan de kans dat het andere kind ook een jongen is? Helaas, u dacht dat dat 50% is, maar het is slechts 33,33%. Ga maar na: bij 2 kinderen heb je 3 mogelijkheden: jongen-jongen, meisje-jongen, jongen-meisje (meisje-meisje valt af, omdat de buurman al gezegd had, dat 1 van de kinderen een jongen is). Alleen de 1^e mogelijkheid is goed, dus 33,33%.

Nog een simpele. U heeft 3 voorwerpen in een grabbelton: een peer, een appel en een tol. U haalt ze alle 3 uit de grabbelton, hoe groot is dan de kans, dat u de volgorde van tevoren juist raad? Het antwoord is 1/6. Misschien had u deze wel goed. Stel u had gegokt op appel, tol, peer. Er zijn dan 6 mogelijke uitkomsten: appel-tol-peer, appel-peer-tol, tol-appel-peer, tol-peer-appel, peer-tol-appel en peer-appel-tol. Aleem de 1^e combinatie is goed, dus is de kans 1/6.

Dan nu de allersimpelste. Stel u woont in Bedum en werkt in Groningen. De kans dat u een late trein naar Bedum neemt, omdat u moet overwerken, is 50%. De kans, dat u met een vriendin uitgaat in Groningen en daar blijft slapen is 60%. Hoe groot is de kans dat u in Groningen blijft? Precies, die had u meteen goed: 80%, namelijk 50% + 60% van 50% = 80%. Als u hier 110% geantwoord heeft, dan kunt u maar beter de hele bètacanon niet meer volgen

Tot slot nog enkele kansen voor de pokeraars (5 kaarten) onder ons (rekent u even mee?):
De kans op Royal Flush (5 jaarten van dezelfde kleur op een rij met als hoogste de aas) is 1 : 649.740
De kans op Full House (2 gelijken en 3 gelijken) is 1 : 694
De kans op Flush is (5 kaarten van dezelfde kleur) is 1 : 509
De kans op One Pair (2 gelijken) is 1 : 2,37
De kans op Straight Flush (5 kaarten van dezelfde kleur op een rij) is 1 : 72.193

Nog enkele kansen voor de bridgers (13 kaarten) onder ons:
De kans op 13 hoogste kaarten is 1 : 158.753.389.900
De kans op 13 kaarten van één kleur is 1 : 158.753.389.900
De kans op de 12 hoogsten van één kleur is 1 : 367.484.699
De kans op 16 punten is 1 : 105
De kans op 4 azen is 1 : 379
De kans op helemaal geen plaatjes is 1 : 1.828

Tot slot de uitsmijter:
Op hoeveel verschillende manieren kun je 5 kaarten (pokeren) krijgen?
Antwoord: Op 2.598.960 verschillende manieren.

Op hoeveel verschillende manieren kun je 13 kaarten (bridgen) krijgen?
Antwoord: Op 635.013.559.600 verschillende manieren.

Op hoeveel verschillende volgordes kun je een pak van 52 kaarten leggen?
Antwoord: Dit is een getal, dat u helemaal niet meer kunt bevatten. Het is een getal van 68 cijfers. Om u een indruk te geven hoeveel dit is, dit voorbeeld. Als alle mensen op aarde, 24 uur per dag, elke seconde 1 miljoen volgorden konden samenstellen (dat is wel heeeel snel), dan waren ze na 80 jaar nog niet verder dan tot een miljardste van een miljardste % van alle mogelijkheden!

Rekent u, met de feestdagen, alles nog even na?

HOE VAAK KUN JE EEN VEL PAPIER DUBBELVOUWEN?
Bron: NRC-Next
Auteur: Carola Houtekamer
Datum: 26-09-07
Vormgever: Karel Hageman

7 tot 8x, vaker kan Lerbe de Knorst uit Breda een simpel A4-tje niet dubbelvouwen. Dat geldt tot zijn verbazing ook voor een A3, een A2 en zelfs een A1-vel. De Korst: ‘Volgens vrienden is dat een soort natuurwet. Maar kun je een superdun vel vloeipapier ter grootte van een speelveld wél vaker vouwen?’

De vraag houdt De Knorst al meer dan 28 jaar bezig. Hoog tijd voor een antwoord dus. ‘de dikte is het probleem,’ zegt wiskundige en informaticus Maarten van Gelder. Hij is fanatiek beoefenaar van de origamikunst. Op zijn website zijn bijna 70 vouwontwerpen te vinden.
‘Het is een eenvoudig sommetje.’ Hij rekent even voor: ‘Neem een normaal vel papier van 0,1 mm. Dat vouw je kruislings dubbel. Na 1 vouw is het papier al 0,2 mm dik, na 2x 0,4 mm en na 7x 1,28 cm. Dat krijg je niet meer fatsoenlijk dubbel.’ Ook in 1 richting vouwen biedt geen soelaas. ‘Bovendien’, waarschuwt van Gelder, ‘is de buitenste laag korter dan de binnenste laag als je dik vouwt. En het gaat kreukelen.’
9x dubbel, dat lukte papier- en textielkunstenares Zoe Bradley uit Londen. Met een vel papier van 1 bij 1 meter, dat ietsje zwaarder was dan een normaal A4-tje. Het werd wel erg dik. Papier vouwen is trouwens helemaal trendy, meent de Britse Bradley. ‘Steeds meer mensen in de mode- en meubelwereld gaan aan de slag met papier.’ Op dit moment is in de Amsterdamse galerie Platform 21 een gevouwen jurk van papier van Bradley te zien, op de expositie ‘Folding’.

W: 1 zijde van een vierkant

t: dikte van het papier

n: aantal vouwen

Maar hoe zit het dan met het dunne vel vloeipapier ter grootte van een voetbalveld? De Amerikaanse scholier Britney Gallivan bedacht een wiskundige formule om het aantal vouwen te berekenen, afhankelijk van grootte en dikte van papier.
Met 0,05 mm dik vloeipapier en een veld van 100 bij 100 meter, kom je uit op 13,8. Dus 13x vouwen.

WILLEBRORD SNELLIUS (1580-1626)
Bron: De Volkskrant
Auteur: Geertje Dekkers
Datum: 22-09-07
Vormgever: Karel Hageman

Meten tot aan Bergen op Zoom.

Willebrord Snellius gold in zijn tijd als een groot meetkundige. Maar de wet waarin hij voortleeft, was bijna aan Descartes toegeschreven.
Humanist Snellius hechtte aan wiskunde, die nuttig was en niet al te obscuur. Maar heel erg vernieuwend werd zijn werk daardoor niet.

Hij communiceerde met grootheden als Tycho Brahe, Hugo de Groot en Pierre Gassendi. En de beroemde astronoom Johannes Kepler noemde hem ‘het juweel van de meetkundigen van onze tijd’: Willebrord Snellius. Wiskundige en classica Liesbeth de Wreede schreef het 1^e boek over zijn leven en werk ooit: A Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, waarop zij woensdag promoveert.
Tegenwoordig kennen sommigen Snellius nog van zijn optische wet, die aangeeft hoever lichtstralen worden gebroken, als ze van het ene medium overgaan in het andere. ‘Maar in die tijd was Snellius vooral belangrijk, omdat hij liet zien, dat de wiskunde een volwaardige discipline was’, zegt De Wreede.
De betekenis van de term wiskunde was toen veel breder dan tegenwoordig. Geometrie en aritmetica vielen eronder, maar ook astronomie, optica en zeevaartkunde. Al die disciplines samen werden aan de universiteit onderwezen als hulpwetenschappen, ondergeschikt aan de hogere studies van bijvoorbeeld de theologie en rechten.
Snellius’ bijdrage bestond eruit, dat hij de wiskunde benaderde als een humanist, zegt De Wreede. Dat wil zeggen, dat hij zich baseerde op klassieke bronnen, die in die tijd het uitgangspunt waren voor hogere geleerdheid. Snellius verdiepte zich in vragen, die ook in de Oudheid al speelden (hoe groot was bijvoorbeeld de aarde?) en probeerde die op te lossen met behulp van klassieke teksten. Daarmee toonde hij aan, dat de wiskunde dezelfde status verdiende als andere takken van kennis, die deze humanistische gebruikten, zoals theologie en geschiedenis. Dat betekende niet, dat Snellius zichzelf beperkte tot het gebruik van oude bronnen.
Toen Snellius bijvoorbeeld de omtrek van de aarde wilde bepalen, ging hij te rade bij Eratosthenes, een inwoner van Alexandrië uit de 3^e eeuw voor Christus, die zo’n bepaling had gedaan. Daarnaast las hij werk van zijn bijna-tijdgenoten Tych Brahe en Gemma Frisius over driehoeksmeting, een manier om gebieden in kaart te brengen. Vervolgens mat Snellius de afstand tussen 2 punten in een weiland bij zijn stad Leiden en ging hij op pad om kerktorens te beklimmen. Boven bepaalde hij de hoeken van de driehoeken, die deze toren vormde met andere torens in het landschap. Die informatie gebruikte hij om – beginnend bij die ene bekende afstand in het weiland bij Leiden – afstanden tussen de kerktorens uit te rekenen. Zo bepaalde hij met veel tussenstappen de afstand Alkmaar – Bergen op Zoom.

In die 2 steden nam Snellius poolshoogte, dat wil zeggen, dat hij met behulp van de positie van de poolster bepaalde op welke breedte (noord-zuid positie) hij zich bevond. Omdat hij het lengteverschil tussen Alkmaar en Bergen op Zoom wist, kon hij uitrekenen welk deel van de omtrek van de aarde de afstand Alkmaar – Bergen op Zoom besloeg. De Wreede: Met behulp van die gegevens kwam hij op een omtrek van de aarde, die maar 3,65% afweek van de afstand, die we nu hanteren.
Snellius’ inspiratie voor zijn aanpak van de wiskunde kwam voor een groot deel van Petrus Ramus (1515-1572), een humanistisch onderwijshervormer, die een groot voorstander was van een humanistische aanpak van de wiskunde. ‘Ramus wilde, dat de wiskunde een grotere rol kreeg in het universitair curriculum’, zegt De Wreede. ‘Die wiskunde moest overigens niet te abstract worden. Ramus vond het belangrijk, dat wiskunde nuttig was en vooral niet obscuur. Daarom heeft Snellius zich nooit verdiept in de moeilijkste onderwerpen van de meetkunde van zijn tijd, zoals kegelsneden. Erg vernieuwend werd de wiskunde van Snellius daardoor nooit.’
Snellius’ afwijzing van obscure wiskunde kan ook nog een andere oorzaak hebben gehad. Hij wilde zijn wiskunde waarschijnlijk begrijpelijk houden voor grote groepen lezers, die hem misschien aan geld of een betere positie konden helpen, bijvoorbeeld prins Maurits.
Een goed voorbeeld van nuttige wiskunde in Snellius’ eigen werk is zijn beroemde wet, die onder meer van belang was voor het slijpen van lenzen. Het had overigens weinig gescheeld of die wet was helemaal niet naar hem vernoemd. De Wreede: ‘Toen Snellius stierf, wisten tijdgenoten niet dat hij de wet had gevonden, want hij had er nooit over gepubliceerd of gecommuniceerd.’ Dat was hij waarschijnlijk wel van plan geweest, want hij liet aantekeningen na voor een boek over optica, dat hij nog uit had willen brengen. Toen een vriend dat manuscript bekeek, vond hij de wet. Zonder die aantekeningen hadden we het nu misschien over de wet van Descartes gehad, want die filosoof vond de wet, onafhankelijk van Snellius, niet lang na diens dood.

Commentaar van Onans Lemming bij dit artikel:

De brekingswet van Snellius

Normaal gesproken beweegt licht zich in een rechte lijn voort. Wanneer een lichtstraal echter van het ene naar het andere materiaal gaat, vindt er breking plaats en verandert het licht van richting.

De breking van licht is verantwoordelijk voor het beeld, dat een rietje in een glas limonade geknakt lijkt en dat een vijver ondieper lijkt dan dat hij in werkelijkheid is.

De 17^e-eeuwse Nederlandse wetenschapper Willebrord Snellius leidde als eerste de formule af, die de breking van licht beschrijft.

De invallende lichtstraal en de uittredende lichtstraal/gebroken straal liggen in hetzelfde vlak. De specifieke brekingsindex (die voor iedere combinatie van stoffen anders is) is constant:

sin i / sin r = constant = n

Hierin:
i = hoek van inval
r = hoek van uitval
n = brekingsindex

Bij overgang van een optisch ‘dichtere’ naar optisch ‘minder dichte’ stof (bijvoorbeeld van water naar lucht) vindt breking van de normaal af plaats. Lichtstralen zijn omkeerbaar, dus van lucht naar water breekt licht naar de normaal toe. De grenshoek is de hoek van inval, waarbij de hoek van breking 90˚ is. De grootte van de grenshoek volgt uit:

sin g = 1 / n

Hierin:
g = grenshoek
n = brekingsindex

HOE FABRICEER JE EEN SUDOKUPUZZEL?
Bron: NRC-Next
Auteur: Carola Houtekamer
Datum: 07-08-07
Vormgever: Karel Hageman

De pauze van de moderne mens is nog maar 81 vakjes lang: een sudoku. Hoe wordt zo’n puzzel eigenlijk gefabriceerd, wil Hilda Haafkens uit Maastricht weten. Hoeveel vakjes mag je leeglaten en welke?

Dat vragen we aan Peter Ritmeester, oprichter van PZZL.com en leverancier van de sudoku in NRC-Next. De eerste stap lijkt simpel. ‘Een computerprogramma vult een hele oplossing in en haalt dan elke keer een vakje leeg. Bij elke stap berekent het programma of er nog steeds maar één manier is, waarop de sudoku ingevuld kan worden. Als dat niet meer zo is, wordt dat laatste vakje weer terug ingevuld. Dan heb je het begin.’
De 9 x 9 vakjes van een sudoku zijn op zo’n 5½ miljard verschillende manieren in te vullen. Het is nog niet bewezen hoeveel getallen minimaal bekend moeten zijn om de puzzel op één manier op te lossen, maar puzzelfanaten houden het op 17. een gemiddelde sudoku begint met 26 getallen. De variant met grijze vakken, door Ritmeester zelf bedacht, met een stuk minder. Ritmeester maakt ook sudoku’s voor de bijlage Leven & cetera op zaterdag bij NRC Handelsblad. Maar NRC-Next-lezers krijgen een makkelijkere puzzel dan de lezers van de zaterdagkrant, ‘omdat ze minder tijd hebben’. Ritmeester moet dus weten hoe moeilijk de gemaakte sudoku is. De moeilijkheidsgraad wordt door ‘de oplosser’ berekend, software waarin Ritmeester een aantal menselijke oplostactieken heeft geprogrammeerd. Een simpele tactiek is het aanvullen van een bijna volle rij. Ingewikkelder is bijvoorbeeld rekening houden met een rij én een blok. De oplosser probeert eerst met makkelijke tactieken de puzzel op te lossen. Als dat niet lukt, gebruikt hij moeilijkere.
Aan de hand van de gebruikte methodes is de moeilijkheidsgraad vast te stellen. Ritmeester: ‘Maar wat de computer vanzelfsprekend vindt, zien wij soms over het hoofd. Daarom lossen we alle puzzels voor NRC-Next ook nog eens met de hand op. De helft valt dan alsnog af.’

Commentaar van Onans Lemming bij dit artikel:
Het is nog niet bewezen hoeveel getallen minimaal bekend moeten zijn om de puzzel op één manier op te lossen, maar puzzelfanaten houden het op 17. Dit vindt Onans Lemming een interessant probleem, waar hij al een tijdje mee worstelt. Het moet natuurlijk wel een wiskundige oplossing zijn en niet een proefondervindelijke. Hij is er nog steeds niet uit, maar misschien weet een van de bezoekers van Onans Lemming de oplossing. Zou je die dan in een reactie naar hem toe kunnen sturen?

CANON 27: GELD
Bron: De Volkskrant
Auteur: Jeanine Kippers
Datum: 07-07-07
Vormgever: Karel Hageman

De wiskunde die van waarde is

Geld symboliseert de waarde van goederen en diensten. Ermee betalen is vanzelf ook een vorm van alledaagse wiskunde.

Het huis aan de overkant van de straat staat te koop voor 369.000 euro. Met de 10% kosten-koper erbij (x 1,1) is dat omgerekend (x 2,2) bijna 900.000 gulden. Duur zal menigeen zeggen. De peultjes uit Peru zijn te koop voor 75 eurocent in de supermarkt om de hoek. Best goedkoop voor een luxe groentesoort, die van ver wordt ingevoerd.
Zo drukken we de waarde van goederen en diensten uit in geld. Het is een algemeen geaccepteerd ruil- en spaarmiddel en dankzij geld kunnen vraag- en aanbod elkaar op efficiënte wijze vinden. Geld en economie zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden.
Er is een enorme financiële wereld, die zich constant bezighoudt met kwantitatieve analyses van geld. Die wereld leunt sterk op de beschiknare kennis van wiskunde, statistieken en kansberekening. Een goed voorbeeld is de netto contante waarde, waarbij de waarde van een bedrag in de toekomst met de geldende rente wordt teruggerekend naar een bedrag nu.
De obligatiehandel baseert zich grotendeels op dit soort wiskundige berekeningen. De prijs van opties wordt in de financiéle markten al sinds jaar en dag vastgesteld met een wiskundig model van Black and Scholes. Deze formule gebruikt informatie over de optie, de koers van het onderliggende aandeel en de rente.
Banken gebruiken weer andere modellen om het risico in te schatten, dat een potentiële klant failliet gaat en zijn lening niet kan afbetalen. Deze informatie bepaalt mede de rente, die de bank vraagt op die lening.
Maar het zijn niet alleen de professionals in de financiële wereld, die zich met wiskunde bezighouden. Geld brengt de wiskundige in ons allen naar boven. Dat blijkt wel uit de keuzes die wij maken bij betaling met contant geld. Alledaagse contante betalingen zijn namelijk niets anders dan het oplossen van een wiskundig optimalisatieprobleem: zoek de meest efficiënte betaling bij een bedrag.
Als u bijvoorbeeld € 18,05 voor uw boodschappen moet betalen en uw portemonnee bevat 1 briefje van 50, 2 briefjes van 10, i muntje van 5 cent, dan kunt u op 3 manieren betalen:
a) briefje van 50
b) 2 briefjes van 10
c) 2 briefjes van 10 en 1 muntje van 5 cent
Bij betaling a) krijgt u 30 euro en flink wat muntjes terug als wisselgeld. Betaling b) van 20 euro levert u 1,95 aan wisselgeld op, minstens 5 muntjes. Door 5 cent bij te passen bij betaling c) is het wisselgeld nog maar 1 munt van 2 euro. Betaling c) is dus het meest efficiënt, omdat daarmee het minst aantal biljetten en munten over de toonbank gaan: 4 in totaal ten opzichte van 8 en 7 bij betaling a) en b). De optimale oplossing voor het betalingsprobleem is dus c).
In Nederland hadden wij tot 2002 de coupurereeks van de gulden, die was gebaseerd op kwarten. Wij hadden het kwartje en het biljet van 25 gulden (het geeltje). Maar de Europese bestuurders kozen ervoor de euro in een 1-2-5 reeks uit te brengen. De vraag of dit ook echt een efficiëntere reeks is dan de 1-2,5-5 reeks van de gulden herbergt een complex optimalisatieprobleem met meerdere criteria.
Overheden willen met zo min mogelijk biljetten en munten een efficiënt betalingsverkeer mogelijk maken. Aan de productie, distributie, verwerking en opslag van bankbiljetten en munten zijn immers kosten verbonden voor de centrale bank, overheid, banken en winkeliers. Het moet met een coupurereeks mogelijk zijn, om elk bedrag met weinig bankbiljetten en munten te betalen. Maar een coupurereeks, die voor ieder mogelijk bedrag een verschillende munt of biljet kent, is praktisch onhaalbaar, en zeker niet efficiënt. Ook moeten de coupures makkelijk rekenen. Daarmee vallen biljetten, beginnend met 1, 3 en 9 ook af. De 1-2-5 reeks combineert deze eisen behoorlijk goeden en wordt wereldwijd het meest toegepast. Het is dus logisch, dat de keuze daarop is gevallen voor de euro. Maar de guldenreeks voldoet even goed aan de genoemde criteria.
Welke van de 2 reeksen is nu eigenlijk efficiënter? In 2002 werd met behulp van een algoritme voor alle mogelijke bedragen met een willekeurige coupurereeks een antwoord op die vraag gezocht. Dit algoritme is toegepast op alle bedragen tussen 0,05 en 100 euro (220,35 gulden). Er bleken gemiddeld evenveel munten en biljetten over de toonbank te gaan voor de euro- als voor guldenbetalingen. De euro is dus net zo efficiënt als de gulden, in theorie. Dat is overigens wel te danken aan het afschaffen van de 1 en 2 eurocent stukken, anders was de gulden efficiënter.
Vervolgens willen econometristen weten of mensen zich wel echt zo gedragen als de theorie. Daartoe is in 2002 een steekproef gedaan bij contante betalingen aan de kassa. Klanten werd vriendelijk gevraagd hun portemonnee-inhoud te laten zien. Vervolgens werd berekend wat, met de beschikbare munten en biljetten, de efficiëntste betaling geweest zou zijn. Bij 61% van de betalingen bleek, dat de klant daadwerkelijk die efficiënte betaling had gedaan. Nederlanders doen dus eerder een efficiënte betaling dan een niet-efficiënte betaling. We gedragen ons inderdaad als wiskundigen, als het om (contant) geld gaat.
Uit dit voorbeeld van contante betalingen en de keuze voor coupurereeksen wordt duidelijk, dat geld een veelheid aan wiskundige toepassingen kent, waarmee iedereen gemerkt of ongemerkt in aanraking komt. Geld is dus economie, maar ook wiskunde.

WISKUNDE: EEN SOCIAAL VAK
Bron: NRC-Next
Auteur: Marion de Boo
Datum: 26-06-07
Vormgever: Karel Hageman

Sommige beroepen hebben een spectaculaire uitstraling. Neem de hartchirurg, die aan één stuk door levens redt. ‘Maar een wiskundige krijgt op feestjes vooral glazige blikken’, zegt prof.dr. Henk van der Vorst. ‘Als je uitlegt, dat wiskundigen bijvoorbeeld de sterkte van bruggen uitrekenen, zien mensen je in gedachten op de bouwplaats rondlopen.’

Wat doet een wiskundige zoal?
Van alles en nog wat uitrekenen. Een klassiek voorbeeld is de ramp met de Space Shuttle, die in 1986 ontplofte na verkeerd rekenwerk van de NASA. Om de krachten tijdens de lancering op te vangen waren hard rubber tussenringen in de ‘kreukelzones’ van de draagraketten nodig. Voor een nauwkeurige berekening zou je die raket moeten opdelen in allerlei denkbeeldige blokjes. Op elk blokje werken allerlei krachten, die met elkaar samenhangen. Zo krijg je een reusachtig stelsel van wiskundige vergelijkingen op te lossen. De toenmalige berekeningen gaven niet meer dan een zeer grove benadering. Een echt nauwkeurige berekening zou volgens de NASA zo’n 450.000 jaar aan rekentijd vergen. Toen hebben ze de gok maar genomen. Zo’n vraagstuk reken je nu met de allersnelste computer in 30 minuten door.

Ook om betere bruggen te ontwerpen?
Mooie bruggen zijn nou eenmaal instabiel. Neem de Erasmusbrug in Rotterdam, die na de oplevering in 1996 vreselijk begon te slingeren. Het is een mooi ontwerp, als een harp. Maar net als harpsnaren begonnen ook de hangkabels of ‘tuien’ te trillen in de wind. Inmiddels kunnen we het gedrag van zo’n brug bij harde wind veel beter doorrekenen en exact bepalen waar die kabels moeten komen.

En dat rekenen blijft ingewikkeld?
De typische wiskunde kan alleen nette, homogene problemen aan. Platte staven, rechte balken, mooie geometrische figuren. Alles wat complexer is, moet je opdelen in kleine blokjes. Voor elk blokje moet je dingen uitrekenen, alles hangt aan elkaar vast. Je hebt al snel een reusachtig groot stelsel aan vergelijkingen. Gelukkig zijn onze computers sinds 1975 een miljoen keer zo snel geworden. En onze rekenmethoden zijn naar verhouding sneller geworden.

Wat maakt die rekenschema’s zoveel slimmer?
Die ontwikkeling is al in de 19^e eeuw begonnen. Je probeert inzicht te krijgen in verbanden. We werken met zelfcorrigerende rekenschema’s. Die ontwikkelingen gaan nog steeds geweldig snel. Over 10 jaar is mijn vakkennis ongetwijfeld volstrekt verouderd.
Een groot probleem is het sterk gedaalde studentenaantal. Je mag het niet hardop zeggen, maar we denken, dat het aan de ‘vooruitgang’ van ons middelbaar wiskundeonderwijs in de jaren ’80 ligt. Sindsdien zien we een sterke terugval. In Italië is 50% van de wiskundestudenten vrouw, bij ons hooguit 25%. Meisjes denken nog te veel, dat een wiskundige in een afgesloten kamer sommetjes zit op te lossen. Terwijl je juist voortdurend met een gigantische waaier van deskundigen in dialoog bent. Wiskunde is een heel sociaal vak.

CANON 18: FOUT
Bron: De Volkskrant
Auteur: Nadine Vastenhouw
Datum: 05-05-07
Vormgever: Karel Hageman

Dat niets zeker is, is als enige zeker.
Hoe stellig de exacte wetenschappen ook kunnen zijn: fouten blijven de grondstof voor vooruitgang. Want alles kan beter.

Van dit stuk zal een uitgebreide versie in een wiki op de website verschijnen. Als er iets in staat dat fout is, of als er iets belangrijks mist, dan kan het daar veranderd of aangevuld worden. Het principe van de wiki vertoont een sterke overeenkomst met de wetenschappelijke werkwijze. Er wordt een beeld van de wereld gevormd, dat steeds wordt bijgeschaafd en uitgebreid.
Het zou dan ook zo maar kunnen, dat een paar van de besproken onderwerpen op de bètacanon over een paar jaar toch iets anders in elkaar blijken te steken dan u hier gelezen heeft. Niet omdat de schrijvers u een rad voor ogen willen draaien, maar omdat wetenschap nu eenmaal dynamisch is. Ons beeld van de werkelijkheid wordt constant getoetst, soms verlaten en vaak uitgebreid. Fouten zijn onlosmakelijk met dit proces verbonden, ze staan aan de basis van de vooruitgang van de kennis.
Wetenschappers proberen de hele dag meer te begrijpen van het onderwerp waar ze hun hart aan hebben verpand. Het begint altijd met een vermoeden. Denken te weten hoe iets zit. Vervolgens bedenken ze hoe ze die gedachte kunnen toetsen. Dat is niet altijd even makkelijk, want hoewel een bioloog vaak een systeem in handen heeft dat hij kan manipuleren, ligt dat voor astrofysici en geologen een stukje moeilijker. Zij moeten het doen met wat ze aantreffen.
Maar toch, de hypothese dient getest te worden. Tijdens dat testen is het belangrijk om te herkennen wat er fout is in je originele hypothese en dat vervolgens ook te erkennen.
Thales van Milete (624-545v.Christus) was een van de eersten, die het belang van fouten benadrukte. Zijn uitgangspunten waren, dat opvattingen gestaafd moeten worden met argumenten en dat men conclusies omtrent het universum alleen mag baseren op het universum zelf en niet op goddelijke interventie.
Die manier van redeneren leidde onder andere tot de foutieve hypothese, dat het de wind was, die de overstromingen van de Nijl veroorzaakte. Toch was deze uitspraak in wetenschappelijk opzicht een belangrijke doorbraak.
De wetenschap heeft een enorme vlucht genomen sinds men in de 17^e eeuw systematisch via experimenten natuurverschijnselen ging onderzoeken, om zo theorieën te toetsen en verder te ontwikkelen. Kortweg wordt dat nu de wetenschappelijke methode genoemd.
In de jaren dertig schreef de wetenschapsfilosoof Karl Popper (1902-1994) een gezaghebbend boek over die wetenschappelijke methode, getiteld Logik der Forschung (De Logica van Onderzoek). Hierin stelt hij, dat een wetenschappelijke hypothese altijd te falsificeren moet zijn. Wat dat betekent, wordt duidelijk als we weer even teruggaan naar Thales van Milete en zijn tijdgenoten.
De heersende gedachte was, dat de goden de overstromingen van de Nijl veroorzaakten. Zo’n hypothese zou Popper betitelen als onwetenschappelijk, omdat het vrijwel onmogelijk is om die te toetsen. De hypothese dat het de wind is, die de Nijl laat overstromen, is weliswaar fout, maar voldoet wel aan 2 belangrijke eisen: 1) de grenzen van de bewering zijn duidelijk (we hebben het over de Nijl) en iedereen weet wat we met de wind bedoelen, en 2) hij is relatief makkelijk te toetsen.
Popper ging nog een stap verder. Met de juiste hypothese in handen moet elke wetenschapper op zoek naar bewijzen voor het tegendeel. Als wetenschapper moet je proberen je eigen theorie te falsificeren.
Naast dit opzettelijk zoeken naar de fouten in de heersende theorieën, is er nog een ander soort fout, die soms tot grote ontdekkingen leidt: het ongelukje, of de slordigheid. Het meest aansprekende voorbeeld van iemand die met dergelijke fouten zijn voordeel deed, is de Schotse wetenschapper Alexander Fleming. Hij deed in zijn leven 2 grote ontdekkingen. Beiden waren het directe gevolg van slordig werken.
Fleming had zich ten doel gesteld een middel te vinden tegen bacteriële infecties, dat niet schadelijk was voor de mens. Toen hij in 1922 had zitten hoesten boven de platen met bacteriën waaraan hij werkte, merkte hij, dat de bacteriën de volgende dag verdwenen waren. Zo ontdekte hij lysozym, een natuurlijk bestanddeel van tranen en neusvocht, dat helpt om bacteriële infecties tegen te gaan.
Een paar jaar later deed Fleming een ontdekking, die hem de Nobelprijs voor de Geneeskunde opleverde. Hij was op vakantie gegaan, en had platen met Staphylococcus aureus, nu beter bekend als de gevaarlijke ziekenhuisbacterie MRSA, gewoon op tafel laten slingeren. Toen hij terugkwam, bleek dat de platen volgegroeid waren met schimmels. Op één van de platen had de schimmel de bacterie van de plaat verdreven. De schimmel bevatte een antibacteriële stof, die iedereen nu kent onder de naam penicilline.
Het leuke van de bètawetenschappen is, dat de fout, die zo belangrijk is in het wetenschappelijk proces zelf, ook een heel belangrijke rol speelt in het onderwerp van studie, de natuur zelf. Fouten in ons dna, ofwel mutaties, treden voortdurend op. De meeste van deze fouten worden razendsnel herkend en hersteld door de reparatiemechanismen, aanwezig in onze cellen. Maar soms laat dit zelfcorrigerend vermogen een steekje vallen en ontstaat er een echte verandering in ons dna.
Als een mutatie in een gewone cel, zoals een spiercel of een huidcel, gebeurt, dan is daar waarschijnlijk weinig van te merken. Slechts in een klein aantal gevallen leidt zo’n mutatie tot kanker. Maar als de verandering optreedt in het dna van een ei- of spermacel, dan geven we ze door aan onze kinderen. Deze veranderingen zijn de basis voor evolutie. Als ze nadelig zijn voor een organisme verdwijnen ze vanzelf uit de populatie, terwijl mutaties die een positief gevolg hebben in stand worden gehouden.

Wilt u een langere versie van dit artikel lezen, of is de auteur aan een belangrijk punt voorbij gegaan? Op vk.nl/betacanon kunnen geregistreerde lezers meeschrijven aan deze en vorige afleveringen van de Volkskrant Bèta-Canon.

CANON 14: SYMBOLEN EN FORMULES
Bron: De Volkskrant
Auteur: Jeanine Daems
Datum: 07-04-07
Vormgever: Karel Hageman

Redeneren zonder woorden.

Formules geven de verbanden tussen symbolen, die anders hele alinea’s vergen. Dat denkt preciezer.

In strips staan de denkwolkjes van verstrooide professoren vaak vol met een wirwar van wiskundige symbolen. Een echte wiskundige ziet meteen, dat daar niets zinvols staat. Het is gewoon een willekeurig samenraapsel. Maar de toon is gezet. Wiskunde bestaat uit rare tekens, die voor een normaal mens niet te begrijpen zijn. Waarom gebruiken wiskundigen en natuurwetenschappers deze symbolen?
De belangrijkste reden is efficiëntie. Met een formule kun je iets heel kort zeggen, waar je met woorden vaak zinnen of zelfs alinea’s voor nodig hebt. Als je een kwadratische vergelijking wil oplossen, schrijf je bijvoorbeeld op: x² + 5x + 8 = 2. Zonder symbolen wordt dat een heel verhaal. ‘Ik zoek een getal en als ik dat getal kwadrateer, dan 5 keer het getal erbij optel en er nog eens 8 eenheden bij optel, dan komt er 2 uit.’ Op die manier is het moeilijk om het probleem helder te krijgen, laat staan het op te lossen.
Veel symbolen hebben een vaste betekenis, zoals π, +, ∫ of 3. De betekenis van die symbolen is op een bepaald moment in de geschiedenis gewoon afgesproken. π is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, + gebruiken we voor het optellen van getallen, ∫ voor een integraal en 3 staat voor het getal drie.
Het waren meestal niet meteen standaardsymbolen en voor sommige begrippen zijn zelfs nog steeds verschillende symbolen in omloop. De Arabieren gebruiken bijvoorbeeld een heel ander symbool voor het getal drie.
Het kiezen van een symbool voor een begrip getuigt van een zeker inzicht. Je kunt het symbool π bijvoorbeeld niet definiëren voor je doorhebt, dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter voor alle cirkels hetzelfde is.

Wanneer het inzicht kwam, dat we kunnen optellen, is niet bekend, maar het symbool + werd voor het eerst gebruikt aan het eind van de 15^e eeuw. Daarvóór werd vaak gewoon een woord gebruikt. Het symbool is waarschijnlijk een afkorting van ‘et’, Latijn voor ‘en’. De + was overigens nog niet meteen het standaardsymbool. In het 16^e eeuwse Italië werd nog ‘p’ gebruikt, als afkorting voor plus.

Het integraalteken is weer heel anders ontstaan. In 1696 discussieerden Gottfried Wilhelm Leibniz en Johann Bernoulli over de beste naam en het beste symbool voor hun nieuwe theorie. Leibniz was voor de term calculus summatorius en voor een langgerekte S als symbool. Bernoulli wilde als term graag calculus integralis en de I als het integraalteken. Het werd een compromis: de term van Bernoulli en het symbool van Leibniz.
Bijna elke discipline in de natuurwetenschappen gebruikt formules. Symbolen stellen dan vaak fysische grootheden voor. Dit gebeurt bijvoorbeeld in de veelvlakkenformule van Euler. Neem een willekeurig veelvlak, zoals een kubus of piramide. Als V het aantal hoekpunten voorstelt, E het aantal ribben en F het aantal zijvlakken, dan geldt altijd: V – E + F = 2. We kunnen de formule controleren voor de kubus. Die heeft 8 hoekpunten (V), 12 ribben (E) en 6 zijvlakken (F). En inderdaad: 8 – 12 + 6 = 2
Behalve voor vaste begrippen en fysische grootheden, worden ook vaak symbolen gebruikt voor variabelen, zoals de x in de kwadratische vergelijking. Ook voor vaste, onbekende getallen gebruiken we letters, al komen die meestal uit het begin van het alfabet.
Het mooie aan formules is, dat je ze niet hoeft te snappen, om ze toch te kunnen gebruiken. Daardoor kunnen ze bepaalde delen van wiskundig redeneren mechanisch maken en zijn ze goed hanteerbaar voor computers. Wie een computer een kwadratische vergelijking wil laten oplossen, moet het probleem op zo’n manier aan het apparaat vertellen, dat het ding in staat is het probleem te herkennen en te beslissen welke algoritme het moet gebruiken. Een formule is dus een perfect communicatiemiddel tussen wetenschappers en hun computers.
Maar ook voor wetenschappers onderling is het de duidelijkste manier van communiceren. Formules zijn namelijk eenduidig, in tegenstelling tot natuurlijke taal. Zodra de symbolen gedefinieerd zijn, is de betekenis van een formule niet meer voor meerdere interpretaties vatbaar.
De vertaalslag van een concreet probleem naar een vergelijking of formule, is vaak al een groot deel van de oplossing. Als je eenmaal een wiskundige formulering hebt gevonden, staat een groot standaardarsenaal aan wiskundige methodes tot je beschikking. Je hebt je probleem in een standaardvorm geschreven, zodat je ziet, dat het heel erg lijkt op een probleem, waar veel andere mensen ook al over hebben nagedacht.
Ook het wiskundig redeneren zelf kan in formules worden opgeschreven, met behulp van logische symbolen. ‘Bewering P of bewering Q is waar’ kun je bijvoorbeeld schrijven als ‘P v Q’. De logische regels kun je gebruiken om mechanische beweringen uit andere beweringen af te leiden. Weer geldt: je hoeft niet te snappen waarom de regels van de logica gelden, om ze toe te kunnen passen.
Formules en symbolen zijn dus niets meer dan een efficiënt gereedschap in de wetenschap. Ze stellen ons in staat heel precies en kort uit te drukken wat we willen zeggen. Zonder symbolen zouden de denkwolkjes van verstrooide professoren dus veel groter moeten zijn.

Wilt u een langere versie van dit artikel lezen, of is de auteur aan een belangrijk punt voorbij gegaan? Op vk.nl/betacanon kunnen geregistreerde lezers meeschrijven aan deze en vorige afleveringen van de Volkskrant Bèta-Canon.

Commentaar van Onans Lemming bij dit artikel:
Onans lemming, economieleraar, heeft vaak te maken met leerlingen, die zeggen: ‘toen u het gewoon vertelde, begreep ik alles, maar toen u wiskunde ging gebruiken, begreep ik er helemaal niets meer van’. Dat kan natuurlijk niet. Wiskunde is er voor het gemak van de mens – het is niet voor niets een hulpwetenschap – en niet om de mensen te treiteren met problemen waar ze niets van snappen. Met wiskunde gaat alles veel gemakkelijker, dus wees blij dat het is uitgevonden. Hij probeert dit dan te verduidelijken met de volgende problemen:

Jan en Piet zijn samen 10 jaar.
Piet is 2 jaar ouder dan Jan.
Hoe oud zijn Jan en Piet?

Je ziet dan vrijwel meteen, dat Jan 4 jaar is en Piet 6 jaar.
Maar je kunt het ook wiskundig oplossen:
Leeftijd Jan: J
Leeftijd Piet: P
J + P = 10 (dit is steno voor: Jan en Piet zijn samen 10 jaar)
P = J + 2 (dit is steno voor: Piet is 2 jaar ouder dan Jan)
J + (J + 2) = 10
2J + 2 = 10
2J = 8
J = 4 jaar
P = 6 jaar
Dit zal ze echter niet overtuigen van het nut van wiskunde, want waarom zo moeilijk doen als je zo kan nagaan, dat Jan 4 jaar is en Piet 6 jaar? Daarom het volgende probleem:

Jan, Piet en Klaas zijn samen 30 jaar.
Jan is 8 jaar ouder dan Piet.
Piet is 4 jaar jonger dan Klaas
Hoe oud zijn Jan, Piet en Klaas?

Dit is al wat moeilijker om zonder wiskunde op te lossen. Maar na een tijdje proberen heb je het antwoord: Jan is 14 jaar, Piet is 6 jaar en Klaar is 10 jaar.
Maar je kunt het ook wiskundig oplossen:
Leeftijd Jan: J
Leeftijd Piet: P
Leeftijd Klaas: K
J + P + K = 30 (dit is steno voor Jan, Piet en Klaas zijn samen 30 jaar)
J = P + 8 (dit is steno voor Jan is 8 jaar ouder dan Piet)
P = K – 4 (dit is steno voor Piet is 4 jaar jonger dan Klaas)
(P + + P + K = 30
Dit is nu jammer, want je kunt deze vergelijking niet oplossen, want het is één vergelijking met 2 onbekenden. Maar als P = K - 4, dan K = P + 4. Verder dus.
(P + + P + P + 4 = 30
3P + 12 = 30
3P = 18
P = 6 jaar
J = 6 + 8 = 14 jaar
K = 6 + 4 = 10 jaar
Toch zal dit ze ook nog niet overtuigen, want een deel had al veel sneller berekend, zonder wiskunde, dat dit de uitkomst moest zijn. Daarom het volgende probleem:

Jan, Piet en Klaas zijn samen 70 jaar.
Jan is 4 jaar ouder dan Klaas.
Over 2 jaar is Piet 2x zou oud als Jan.
Hoe oud zijn Jan, Piet en Klaas?

Nu wordt het stil. Dit is in woorden moeilijk te berekenen, misschien lukt het er één, maar met wiskunde is het een fluitje van een cent.
Leeftijd Jan: J
Leeftijd Piet: P
Leeftijd Klaas: K
J + P + K = 70
J = K + 4
P + 2 = 2.(J + 2) (dit is steno voor Over 2 jaar is Piet 2x zo oud als Jan)
P + 2 = 2J + 4 — P = 2J + 2
J + (2J + 2) + K = 70
Deze vergelijking kun je niet oplossen, want het is weer één vergelijking met 2 onbekenden. Schrijf dus K als een functie van J.
J = K + 4 — K = J -4 Invullen en je krijgt dan:
J + (2J + 2) + (J – 4) = 70
4J – 2 = 70
4J = 72
J = 18 jaar
P = 2.18 + 2 = 38 jaar
K = 18 – 4 = 14 jaar
Even controleren:
Jan, Piet en Klaas zijn samen 18 + 38 + 14 = 70 jaar. Klopt.
Jan (18) is 4 jaar ouder dan Klaas (14). Klopt.
Over 2 jaar is Piet 40 jaar en Jan 20 jaar, dus 2x zo oud. Klopt.

Een laatste probleem.
Jan, Piet en Klaas zijn samen 132 jaar.
Over 4 jaar is Piet 4x zo oud als Jan.
4 jaar geleden was Klaas 3x zo oud als Jan.
Hoe oud zijn Jan, Piet en Klaas?

Nu probeert niemand het meer met woorden op te lossen. Ze proberen het meteen wiskundig en zijn er zo uit:
J + P + K = 132
P + 4 = 4.(J +4) — P + 4 = 4J + 16 — P = 4J + 12
K – 4 = 3.(J - 4) — K – 4 = 3J – 12 — K = 3J – 8
J + (4J + 12) + (3J – = 132
8J = 128
J = 16 jaar
P = 4.16 + 12 = 76 jaar
K = 3.16 – 8 = 40 jaar
Controle: 16 + 76 + 40 = 132 jaar. Klopt.

Wat kan wiskunde het leven toch vergemakkelijken! Vooral als je bedenkt dat het voor de wiskunde en de computer niet uitmaakt of het nu over 3, 4, 5, 6, 7 enz. personen gaat. De berekening gaat op precies dezelfde manier, wordt niet moeilijker, maar het duurt alleen wat langer, terwijl je het met woorden al heel snel niet meer kunt oplossen.